Buzo de Descartes
(Cartesian diver)
J. G¨u´emez
Departamento de F´ýsica Aplicada,
Universidad de Cantabria.
23 de noviembre de 2004
Resumen
Se presenta un modelo del buzo de Descartes (Cartesian diver).
El modelo te´orico que se desarrolla, basado en el principio de Arquimedes,
el principio de Pascal y la ley de Boyle, indica que para
cada buzo existe una profundidad de no retorno, por debajo de la
cual se hunde y ya no vuelve a la superficie. Los resultados experimentales
confirman la existencia de dicha profundidad l´ýmite. El
potencial en el que se mueve el buzo, obtenido aplicando las leyes
de Newton, es el de una ‘cat´astrofe en pliegue’.
Introducci´on hist´orica
En su libro Los Principios de la Filosof´ýa, Ren´e Descartes expone
siete reglas para explicar los movimientos de los cuerpos1. En su cuarta
regla expone:
Si el cuerpo C fuera de dimensiones superiores al cuerpo B, por
peque˜na que fuera la diferencia, y si el cuerpo C se encontrara en
reposo absoluto (es decir, si el cuerpo C no solo careciera de todo
movimiento aparente, sino que tambi´en el cuerpo C no estuviera
rodeado de aire, ni de cualesquiera otros cuerpos l´ýquidos, los cuales
disponen los cuerpos duros que circundan de modo tal que facilitan
su desplazamiento) sea cual fuere la velocidad con la que el cuerpo
B pudiera alcanzar a C, nunca tendr´ýa fuerza para poner el cuerpo
C en movimiento.
Un poco m´as adelante, par´agrafo 56, escribe:
1Ren´e Descartes, Los Principios de la Filosof´ýa, Alianza Editorial AU 825, Madrid
1995
1
Las part´ýculas que integran los cuerpos fluidos se mueven en cualesquiera
direcciones con igual fuerza; asimismo, la menor fuerza
basta para mover los cuerpos duros situados en un fluido.
Este argumento parece ir en contra de su cuarta regla y cuando investiga
c´omo se mueven los cuerpos a trav´es del agua, le parece que
pueden hacerlo porque las partes del l´ýquido les abren camino prontamente.
Pero le faltaba explicar c´omo se doblegaba la tendencia inercial
del cuerpo a seguir en su estado de reposo2.
Figura 1: Modelo de ludi´on o buzo de Descartes de la Universidad de
Oporto (Portugal), en el que la presi´on se regula con la ayuda de un
tornillo. Grabado de un ludi´on en el que la presi´on se regula con la
ayuda de una piel flexible.
El buzo de Descartes (Cartesian diver en la literatura en ingl´es, posiblemente
llamado as´ý debido a que pone de manifiesto c´omo una peque˜na
fuerza es capaz de producir un gran desplazamiento en un cuerpo que
flota) es un dispositivo f´ýsico que ya aparece en los gabinetes de F´ýsica
del siglo XVIII y que se utilizaba en demostraciones en p´ublico.
2William R. Shea, La Magia de los N´umeros y el Movimiento. La Carrera Cient´ýfica
de Descartes, Alianza Editorial AU 746, Madrid 1991
2
Figura 2: Experimento sencillo del buzo de Descartes. Como buzo se
utiliza el tubito hueco de vidrio y la pera de caucho de un frasco de
colirio (un cuentagotas). La profundidad del tap´on de la botella puede
regularse. Cuando el tap´on desciende lo suficiente, el buzo se hunde
hasta el fondo. Cuando se afloja de nuevo el tap´on, el buzo vuelve a la
superficie (aunque no siempre).
Un buzo de Descartes consta esencialmente de un peque˜no tubo,
abierto por su parte inferior, que flota en el interior de una botella casi
llena de agua y cerrada por un tap´on. Si la botella es r´ýgida, el tap´on
debe poder desplazarse y si la botella es de paredes flexibles, el tap´on
puede estar fijo. En la Fig. 2 se muestra una experiencia t´ýpica con el
buzo de Descartes. En el estado inicial, el buzo flota. Cuando el tap´on
es introducido ligeramente en el cuello de la botella, sin dejar escapar
el aire atrapado, el buzo se hunde llegando al fondo de la botella. Si
el tap´on vuelve a extraerse, el buzo retorna a la superficie. El mismo
comportamiento se obtiene si se deja fijo el tap´on en su posici´on inicial
y se aprietan las paredes de la botella. Cuando se dejan de apretar, el
buzo vuelve a la superficie (aunque no siempre).
Modelo
Con objeto de simplificar los c´alculos, el buzo de Descartes ser´a un
tubo de ensayo invertido, de vidrio, con una burbuja de aire en su interior,
que flota sobre la superficie del agua contenida en un recipiente
cerrado.
Una primera aproximaci´on cualitativa sobre el funcionamiento de
3
este sistema ser´ýa la siguiente. De acuerdo con el Principio de Arquimedes,
el tubo flota debido a que el peso del agua desalojada por la burbuja de
aire (y por el vidrio) es mayor que el peso del vidrio. Cuando se hace
descender el tap´on o se aprieta la botella, el volumen de aire disminuye
y la presi´on del aire en el interior de la botella aumenta, de acuerdo con
la Ley de Boyle. De acuerdo con el Principio de Pascal, este aumento
de la presi´on se extiende a todo el sistema, en concreto, a la burbuja de
aire atrapada en el tubo, que tambi´en disminuye su volumen. Cuando
se alcance una presi´on tal que el peso del agua desplazada por la burbuja
sea inferior al peso del vidrio, el buzo se hundir´a. A continuaci´on
se desarrolla cuantitativamente este modelo.
l
PP*
l*
Figura 3: Experimento del buzo de Descartes. (a) Tubo de ensayo, parcialmente
lleno de agua, a la presi´on atmosf´erica. (b) Tubo invertido en
un recipiente. La presi´on sobre la superficie del l´ýquido puede ser controlada
desde el exterior. (c) Tubo en equilibrio est´atico en la superficie
del l´ýquido (presi´on cr´ýtica).  es la longitud m´ýnima de burbuja que
hace flotar el tubo. (d) Tubo hundido. Las presiones en la figura son
P < P < P0.
4
Un tubo de longitud L no completamente lleno de agua [Fig. 3 (a)]
se invierte en un recipiente que contiene el mismo l´ýquido [Fig. 3 (b)].
La longitud original de la burbuja de aire dentro del tubo es l0. Una vez
el tubo flota sobre el agua, l < l0 es la nueva longitud de la burbuja. Se
denomina x a la coordenada de la parte superior del tubo respecto de
la superficie del l´ýquido. Si parte del tubo queda fuera del agua, Fig. 3
(b), x > 0, y la longitud de la burbuja dentro del agua es  = l-x. Si el
tubo se encuentra completamente sumergido, x < 0 y  = l. Cuando el
tubo flota en equilibrio, x = x y  = . Si el tubo flota con x = 0, Fig. 3
(c), entonces se tiene  = .
Por el Principio de Arquimedes, en el equilibrio de flotaci´on el peso
del vidrio y el peso del agua desalojada son iguales
mg = V vidrio g = A  g + V 1 -
x
L  g , (1)
donde g = 9,8 m s-2, V  L(d2
ext - d2
int)/4 es el volumen de vidrio,
A = d2
int/4 es la secci´on interna del tubo (dext y dint son sus di´ametros
externo e interno, respectivamente). La densidad del vidrio es vidrio =
m/V , donde m es la masa del tubo y  = 1 g cm-3 es la densidad del
agua.
La longitud de burbuja que deja al tubo flotando justamente en la
superficie es
 = V
A vidrio
 - 1= L d2
ext
d2
int - 1!vidrio
 - 1. (2)
Tubo L / cm m / g dint dext vidrio  / cm  / cm
/ cm / cm / g cm-3 Ec. (2) Exp.
1 16.0±0.2 18.6±0.2 1.430 1.640 2.29±0.19 6.51±0.18 6.4±0.2
2 9.8±0.1 11.9±0.1 1.380 1.600 2.35±0.19 4.57±0.12 4.6±0.2
3 20.1±0.2 33.3±0,2 1.740 2.000 2.17±0.14 7.55±0.15 7.6±0.2
4 17.1±0.1 142.8±0.1 4.440 4.970 2.16±0.03 4.96±0.03 4.9±0.2
Cuadro 1: Tubos flotantes. Longitud de burbuja que hace que el tubo se
encuentre justo en la superficie [Fig. 3 (c)]. Los resultados de la Ec. (2)
se comparan con las medidas experimentales.
De acuerdo con la Ley de Boyle (PV = Cte, a temperatura constante),
la longitud de la burbuja var´ýa con la parte sumergida del tubo y
con la presi´on externa aplicada como
P0 l0A = P + g  + xA. (3)
5
Tomando x
x = P0l0
P + g -  , (4)
y sustituy´endolo en la Ec. (1), se obtiene una ecuaci´on cuadr´atica para
.
Para la Ec. (3) con x = 0 (y P = P),
P0 l0 = (P + g)  . (5)
Se tiene entonces que la presi´on externa necesaria para llevar al tubo
justo hasta la superficie del l´ýquido es,
P
P0 
l0
 , (6)
donde se ha considerado que g  P.
Este resultado sugiere lo siguiente. Sup´ongase que un tubo que flota
en la superficie bajo presi´on atmosf´erica se hunde –por ejemplo con la
ayuda de un trozo de hierro pegado a ´el y un im´an– hasta una cierta
profundidad, xnr, tal que la presi´on a esa profundidad sea P, con
P  P0 + gxnr. Entonces el tubo tendr´a una longitud de burbuja
que no le permitir´a flotar y se hundir´a hasta el fondo. Se denomina
profundidad de no retorno a ´esta xnr.
Resultados experimentales
En la Tab. 1 se muestran los valores experimentales de la altura de
burbuja l´ýmite para flotar obtenidos para algunos tubos y se comparan
con los resultados de la Ec. (2).
En la Fig. 4 se muestra el dise˜no experimental utilizado para variar
la presi´on impuesta sobre el buzo. Se mide la presi´on l´ýmite a la que un
buzo dado empieza a hundirse y la profundidad de no retorno de mismo.
Din´amica
Los resultados experimentales no parecen invalidar la teor´ýa desarrollada.
El siguiente aspecto a estudiar del modelo considerado es el de
la din´amica del sistema, es decir, c´omo se comporta el buzo cuando una
situaci´on de equilibrio dada se perturba desde el exterior. La aplicaci´on
de las leyes de Newton implica obtener las fuerzas que act´uan sobre el
sistema.
Cuando el tubo se encuentra en equilibrio, x = x viene dado por la
Ec. (4). Si el equilibrio se perturba, y de acuerdo con el Principio de
Arquimedes, aparece una fuerza
F = ( A  g + V